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在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

阿貝爾範疇間的正合函子

設 C,C′displaystyle mathcal C,mathcal C' 為阿貝爾範疇，F:C→C′displaystyle F:mathcal Cto mathcal C' 為加法函子。若對每個正合序列

⋯⟶Xi⟶Xi−1⟶⋯displaystyle cdots longrightarrow X_ilongrightarrow X_i-1longrightarrow cdots

取 Fdisplaystyle F 後得到的序列

⋯⟶F(Xi)⟶F(Xi−1)⟶⋯displaystyle cdots longrightarrow F(X_i)longrightarrow F(X_i-1)longrightarrow cdots

仍為正合序列，則稱 Fdisplaystyle F 為正合函子。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 0→X′→X→X″→0displaystyle 0to X'to Xto X''to 0，其像截去尾端零對象後 0→F(X′)→F(X)→F(X″)displaystyle 0to F(X')to F(X)to F(X'') 為正合序列，則稱 Fdisplaystyle F 是左正合函子；類似地，若 F(X′)→F(X)→F(X″)→0displaystyle F(X')to F(X)to F(X'')to 0 為正合序列，則稱 Fdisplaystyle F 是右正合函子。正合性等價於左正合性＋右正合性。

一般範疇中的正合函子

考慮一個函子 F:C→C′displaystyle F:mathcal Crightarrow mathcal C'。

• 若Cdisplaystyle mathcal C裡存在任意的有限射影極限，且Fdisplaystyle F與有限射影極限交換（即：F(lim←i⁡Xi)→∼lim←i⁡F(Xi)displaystyle F(varprojlim _iX_i)stackrel sim to varprojlim _iF(X_i)），則稱Fdisplaystyle F為左正合。


• 若Cdisplaystyle mathcal C裡存在任意的有限歸納極限，且Fdisplaystyle F與有限歸納極限交換（即：lim→i⁡F(Xi)→∼F(lim→i⁡Xi)displaystyle varinjlim _iF(X_i)stackrel sim to F(varinjlim _iX_i)），則稱Fdisplaystyle F為右正合。


• 若上述條件同時被滿足，則稱Fdisplaystyle F為正合。

在阿貝爾範疇中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。

例子

• 根據極限的泛性質，Hom(−,−)displaystyle mathrm Hom (-,-)函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。


• 設(F,G)displaystyle (F,G)是一對伴隨函子。若Cdisplaystyle mathcal C存在任意有限歸納極限，則Fdisplaystyle F右正合；若存在任意有限射影極限，Gdisplaystyle G左正合。此法可建立許多函子的正合性。


• 設 Xdisplaystyle X 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 X↦F(X)displaystyle Xmapsto F(X) 是左正合函子。


• 設 Rdisplaystyle R 為環，Tdisplaystyle T 為右 Rdisplaystyle R-模，則左 Rdisplaystyle R-模範疇上的張量積函子 T⊗R−displaystyle Totimes _R- 是右正合函子。


• 設 A,Bdisplaystyle mathcal A,;mathcal B 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇 BAdisplaystyle mathcal B^mathcal A，固定一對象 A∈Adisplaystyle Ain mathcal A，對 Adisplaystyle A 的「求值」是正合函子。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490