共形場論 目录 標度不變性與共形不變性 维数的讨论 共形对称性 參閱 参考资料 延伸閱讀 外部链接 导航菜单arXiv:hep-th/9108028Irreversibility Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory [2维场论重正化群的通量不可逆性]arXiv:hep-th/9108028弦论通俗演义(十九)Conformal Field TheoryString Theory Wiki

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场经典场论规范场论共形場論有效場論庞加莱对称量子力学自发对称破缺創生及湮滅算符反常共形反常真空期望值Vacuum expectation value正則量子化瞬子法捷耶夫-波波夫鬼粒子费曼图LSZ约化公式LSZ reduction formula格林函數配分函数传播函数Propagator微擾理論量子化重整化正規化真空态Vacuum state威克定理威克轉動怀特曼公理体系Wightman axioms電弱交互作用希格斯机制量子色動力學量子電動力學楊-米爾斯存在性與質量間隙阿德勒贝特博戈柳博夫卡伦科尔曼德维特狄拉克戴森法捷耶夫费米费曼菲尔茨Markus Fierz福克弗勒利希盖尔曼戈德斯通格娄斯胡夫特贾基夫克莱因约当肯德尔基博爾兰姆朗道李政道雷曼马约拉纳南部阳一郎帕里西佩斯金泊里雅科夫萨拉姆施温格斯卡姆Tony Skyrme斯塔克伯格西蒙泽克朝永振一郎韦尔特曼温伯格魏斯科普夫威爾森威滕杨振宁汤川秀树齐默尔曼金恩-贾斯廷弦膜D膜S膜S-braneNS5膜M2膜M5膜黑膜Black brane玻色弦理論超弦理论第一型弦理論第二型弦理論混合弦理論拓樸弦理論扭量弦理論Twistor string theory弦唯象学弦宇宙學弦論地景膜宇宙學RNS体系RNS formalismGS体系GS formalismGSO映射GSO projection卡拉比-丘流形K3曲面G2流形G2 manifold緊致化軌形orbifold定向形orientifold錐形(弦论)conifold共形场论超空間BRST量子化BPS態塞伯格-維騰理論塞伯格-維騰不變量塞伯格-維騰映射快子凝聚Wess-Zumino-Witten模型李群反常


共形場論


共形变换不变量子场论凝聚态物理学统计力学量子统计力学弦论热力学临界点量子临界点标度不变幺正紧致威克转动黎曼球面莫比乌斯变换能量动量张量维拉宿代数中心荷希尔伯特空间模哈密顿算子C定理AdS/CFT对偶反德西特空间N=4超对称杨-米尔斯理论IIB型弦理论陈-西蒙斯理论M理论超对称共形对称性共形变换平移




共形場論 (conformal field theory, CFT) ,是在共形变换下不变的量子场论。在二维情况下,有一个局部共形变换的无限维代数,共形场论有时可以精确求解或分类。


共形场论在凝聚态物理学、统计力学、量子统计力学以及弦论中有重要应用。统计系统在热力学临界点、凝聚态系统在量子临界点通常是共形不变的。




目录





  • 1 標度不變性與共形不變性


  • 2 维数的讨论

    • 2.1 二维


    • 2.2 二维以上



  • 3 共形对称性


  • 4 參閱


  • 5 参考资料


  • 6 延伸閱讀


  • 7 外部链接




標度不變性與共形不變性


尽管标度不变的量子场论有可能不是共形不变的,但这样的例子极少。因此,在量子场论中这两个术语常常当作同义词。事实上标度对称群比共形对称群小。


在一些特殊情况下,由标度不变性可以推出共形不变性,例如二维的幺正紧致共形场论。



维数的讨论



二维


二维共形场论有两种:欧几里得型和洛伦兹型。前者用于统计力学,而后者用于量子场论。可以通过威克转动把二者联系起来。


二维共形场论在无限维对称群下不变。例如,考虑黎曼球面上的共形场论。其共形群为莫比乌斯变换,同构于有限维的PSL(2,C)。但是,无穷小共形变换组成了一个无限维代数,称为Witt代数,这无限个共形变换在Cdisplaystyle mathbb C 上没有整体的逆。生成元用整数n来标记


Ln=12πi∮z=0⁡Tzzzn+1dzdisplaystyle L_n=frac 12pi ioint _z=0T_zzz^n+1dz


其中Tzzdisplaystyle T_zz是该理论的能量动量张量的无迹部分的全纯部分。例如,对自由标量场


Tzz=12(∂zϕ)2displaystyle T_zz=frac 12(partial _zphi )^2


大多数共形場論量子化後會出現共形反常,又稱魏尔(Weyl)反常。这导致非平凡中心荷的出现,Witt代数扩展成维拉宿代数。


这个对称性使我们能够对二维共形场论进行更加细致的分类,这在更高维中是做不到的。尤其是,可以把一个理论中的primary operator的谱与中心荷的值c对应起来。




物理态组成的希尔伯特空间是与一个中心荷的值相对应的维拉宿代数的幺正模。稳定性要求哈密顿算子的能谱非负。令人感兴趣的模是维拉宿代数的最高权重模。




一手徵場是一全純場W(z),且在維拉宿代數作用下之變換為



LnW(z)=−zn+1∂∂zW(z)−(n+1)ΔznW(z)displaystyle L_nW(z)=-z^n+1frac partial partial zW(z)-(n+1)Delta z^nW(z),

L¯nW(z)=0.displaystyle bar L_nW(z)=0.,

类似地,稍作修改就得到反手征场。Δdisplaystyle Delta 称为手征场W的共形权重


此外,亚历山大·泽莫洛德奇科夫(Alexander Zamolodchikov)曾證明存在一函數 C,在二维量子场论的重整化群流作用下單調递减,且等於一个2維共形場論的中心荷。此定理称为泽莫罗德奇科夫C定理,告诉我们二维的重整化群流是不可逆的。


很多时候,我们不仅对算子感兴趣,也对真空态感兴趣。除非c=0,否则不存在状态能够保持全部无穷维对称性。我们能想到的最好的情况是在L−1,L0,L1,Li(i>1)displaystyle L_-1,L_0,L_1,L_i(i>1)下不变。这包含了莫比乌斯子群。共形群的其余部分是自发破缺的。


二维共形场论在统计力学中发挥了重要作用,能够描述许多格点模型的临界点。



二维以上


维数d>2时,共形群局部同构于SO(d+1,1)displaystyle mathcal SO(d+1,1)SO(d,2)displaystyle mathcal SO(d,2)


更高维的共形场论在AdS/CFT对偶中非常重要,即反德西特空间(AdS)中的引力理论等价于AdS边界上的共形场论。著名的例子有d=4,N=4超对称杨-米尔斯理论,与AdS5 × S5上的IIB型弦理论对偶;d=3,N=6超陈-西蒙斯理论,与AdS4 × S7上的M理论对偶。(“超”代表超对称,d是边界的时空维数)



共形对称性


共形对称性是在标度变化以及具有以下关系的特殊共形变换下的对称性


[Pμ,Pν]=0,displaystyle [P_mu ,P_nu ]=0,


[D,Kμ]=−Kμ,displaystyle [D,K_mu ]=-K_mu ,


[D,Pμ]=Pμ,displaystyle [D,P_mu ]=P_mu ,


[Kμ,Kν]=0,displaystyle [K_mu ,K_nu ]=0,


[Kμ,Pν]=ημνD−iMμνdisplaystyle [K_mu ,P_nu ]=eta _mu nu D-iM_mu nu


其中Pdisplaystyle P是平移生成元,Ddisplaystyle D是标度变换生成元。



參閱


  • 对数共形场论

  • AdS/CFT对偶

  • 算子積展開

  • 頂點算子代數

  • WZW模型

  • 臨界點

  • 超共形代数

  • 共形代数

  • 共形反常




参考资料


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  • Paul Ginsparg. Applied Conformal Field Theory [应用共形场论]. 1988. arXiv:hep-th/9108028 (英语). .


  • P. Di Francesco; P. Mathieu; D. Sénéchal. Conformal Field Theory [共形场论]. 紐約: Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-94785-X (英语). .


  • A. B Zamolodchikov. Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory [2维量子场论的无穷共形对称性]. Nucl. Phys. 1984: 333–380 (英语). .


  • A. B Zamolodchikov. Irreversibility Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory [2维场论重正化群的通量不可逆性]. JETP Lett. 1986: 730–732 (俄语). 


延伸閱讀



  • Martin Schottenloher. A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory [共形场论的数学导引] 2. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. 2008 [1997]. ISBN 978-3-540-68625-5 (英语). .


  • Paul Ginsparg. Applied Conformal Field Theory [应用共形场论]. arXiv:hep-th/9108028 (英语). .


  • P. Di Francesco; P. Mathieu; D. Sénéchal. Conformal Field Theory [共形场论]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-94785-X (英语). .


外部链接


  • 弦论通俗演义(十九)


  • Conformal Field Theory page in String Theory Wiki lists books and reviews

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